내가 아는 대로 중학교 대수학 정리하기

06 Mar, 2026

수정할 것

'역'
'수', '문자'

이게 뭐하는 글이지?

목적

중학교 대수학, 정확히는 중학교 1학기에 나오는 수, 연산, 방정식, 부등식, 함수, 그래프와 같은 내용 (아마 일부는 해석학 혹은 기하학에도 속할 거다) 그리고 그걸 이해하는 데 필요한 내용을 내 나름대로 정리해놓은 글이다. 단원별로 쓰지 않고 한 페이지에 모은 이유, 교육과정상 목차를 따르지 않은 이유는 전체적인 개념의 관계를 정리해놓기 위해서다. 그래서 3월에 큰 목차를 작성했고, 특별히 특정 부분을 배울 때마다 복습용으로 여기다 내용을 채워넣을 거다.

또한 저장 이슈로 몇시간 공들여 쓴 내용이 통째로 날라가기도 하는 bearblog에서 이걸 쓰는 이유는 사람들이 이걸 보고 내 실수를 고쳐줄 수도 있고, 다른 사람이 이걸 볼 수 있다는 마음에 더 정확하게 쓰려고 내가 하기 땜이다. 내 블로그는 좀 어지럽기 땜에 여기 이메일을 주겠으니 지적해줘라.

참고 자료

1순위: 중학교 교과서/참고서
2순위: 고등학교 교과서/참고서
3순위: 블로그 aerospacekim, 류모찌의 상용로그, 책 '수학의 숲을 걷다' (송용진 저)

이걸 선정한 큰 이유는 없고 걍 내가 자주 보는 수학 콘텐츠다. 따로 적지 않았으면 왠만하면 중학교 내용이긴 할거다.

전 내용 (2026-03)

중학교 대수학을 내 나름대로 정리해놓은 거다. 딱 보면 알수 있듯 보통 중학교 교과서에서 나오는 거랑 목차가 조금 다른 부분이 꽤 많다. 몇달간 래빗홀을 파서 그렇다. 그리고 목차 빼곤 거의 다 비었는데 아직 미완이라 그렇다. 엄청 많이 복습한 내용이라 나한테 지금 당장 필요한 건 그 내용의 순서나 관계를 정리하는 것 뿐이라 생각해서 이렇게 해놨고, 특정 개념을 다시 복습하면 여기다가 더 자세히 적을 예정이다.

0. 기초

중학교에서는 안 나오는 내용이므로 공수2 '집합과 명제', '함수'와 aerospacekim을 참고하였다.

0.1. 집합

정의
집합은 원소로 이루어진 모임이다.
원소 $a$ 가 집합 $A$ 에 속하면 $a \in A$ 로 표기하고, 원소 $a$ 가 집합 $A$ 에 속하지 않으면 $a \notin A$ 로 표기한다.

여기서는 집합을 걍 무정의용어로 볼거다. 듣기론 수학을 더 많이 파다 보면 집합을 더 엄밀하게 정의하게 된다는데, 일단 이 글은 중학교 수준 수학을 다룰 거니까 상관없다.

공수2에서는 집합이 '누구에게도 분명한 기준을 가져야 한다'라고 한다. 예를 들어 '1보다 큰 자연수의 모임'은 기준이 분명하지만 '잘생긴 사람의 모임'은 사람에 따라 기준이 다르다는 거다.

집합 정의하는 법

원소나열법: 집합에 속한 원소를 중괄호 안에 쓰는 거다. 예를 들어 $a, b, c$ 가 집합 $A$ 의 원소라면 $A = a, b, c$ 이렇게 표기하는 거다.

정의
$a = b$ 는 a와 b가 같다는 뜻이다. 이때 a를 좌변, b를 우변이라 하고 좌변과 우변을 통틀어 양변이라고 한다.

조건제시법: 어떤 조건을 주고 '이 조건을 만족하는 모든 원소는 이 집합에 속한다'라고 하는 거다. 예를 들어 모든 3의 배수가 들어있는 집합 $A$ 는 $A = {a : a 는 3 의 배 수}$

부분집합, 교집합, 합집합 등

(이 부분은 중학교 수학과는 관련이 적어서 나중에 쓰겠다)

정의
집합 $A$ 의 모든 원소가 집합 $B$ 의 원소이면 $A$ 는 $B$ 의 부분집합이라 하고 $A \subset B$ 로 표기한다.

이걸 더 파는 분야가 '집합론'이다.

참고자료: 공수2 '집합과 명제' 단원, aerospacekim님 블로그

0.2. 명제

0.3. 함수

0.3.1. 함수의 정의

정의
순서쌍

정의 (공수2, aerospacekim)
집합 $A$ 의 모든 원소를 각각 집합 $B$ 의 원소 하나에 대응한 관계를 함수라고 하고 $f : A \to B$ 로 표기한다.

이때 집합 $A$ 를 정의역이라 하고 집합 $B$ 를 공역이라 한다.

다시 말해, 함수란 정의역의 모든 원소를 각각 공역의 원소 하나에 대응한 관계이다.

정의 (중2-1)
$x$ 의 값이 변함에 따라 $y$ 의 값이 하나로 정해지는 대응 관계가 있을 때, $y$ 는 $x$ 에 대한 (또는 $x$ 의) 함수라고 하고, 이를 $y = f (x)$ 로 나타낸다.

위 정의는 함수와 함숫값을 같은 것으로 보고 있고 정의역, 공역 언급조차 하지 않아 고등학교 과정만 해도 써먹기 어려울 것 같다.

나무위키에 나와 있는 함수의 정의

함수 $f$ 는 아래 조건을 만족시키는 정의역(domain) $X$ , 공역(codomain) $Y$ , 그래프(graph) $R$ 의 세 집합으로 된 순서쌍 $(X, Y, R)$ 로 정의된다.

$R \subset X \times Y$ . 즉, $R$ 은 $X$ 와 $Y$ 사이의 이항 관계이다.

$\forall x \in X \exists y \in Y ((x, y) \in R)$ . 즉, $X$ 의 모든 $x$ 에 대해 $(x, y) \in R$ 을 만족시키는 어떤 $y \in Y$ 가 항상 존재한다. (상의 존재성)

$\forall (x, y) \in R \forall (x, y^{'}) \in R (y = y^{'})$ . 즉, $x$ 에 대해 $y$ 는 $R$ 내에서 항상 유일하다. (상의 유일성)

내 말로 표현하자면, 함수는 세 집합인 정의역 $X$ , 공역 $Y$ , 그래프 $R$ (이 함수에서 대응되는 모든 순서쌍 $(x, y)$ 의 집합)의 순서쌍 $X, Y, R$ 이다. 이때 정의역의 모든 원소에 대응되는 공역의 원소(상 혹은 함숫값)가 있고 ( $\forall x \in X, \exists y \in Y s . t . (x, y) \in R$ , 상의 존재성), 정의역의 한 원소에 대응되는 공역의 원소는 유일하다. ( $\forall (x, y) \in R \forall (x, y) \in R, y = y^{'}$ , 상의 유일성)

중고등학교 과정에서 '함숫값'이라고 하는 걸 여기서는 '상'이라고 한다. '상'이란 용어를 나무위키뿐만 아니라 aerospacekim, nLab에서도 쓴다.

0.3.2. 함숫값과 관계식

정의
정의역의 원소 $x$ 에 대응하는 공역의 원소를 x의 함숫값이라 하고 $f (x)$ 로 나타낸다.

정의
함숫값 전체의 집합을 치역이라고 한다.

즉 (함수 f의 치역) $= f (x) | x \in X$

정리
치역은 공역의 부분집합이다.

정의
함수의 관계식

중학교에서 대부분의 함수는 정의역과 공역이 모두 실수 집합이다.

0.4. 연산과 대수구조

1. 수 체계와 연산

1.1 실수

1.1.1 실수 공리

1.1.2 사칙연산과 거듭제곱의 정의와 연산법칙

연산법칙의 정의??? 는 '연산'부분에 들어가야 할듯.

교환, 결합, 소거, 분배법칙. 곱셈공식, 지수법칙 등 다양한 연산법칙이 있는데 한꺼번에 모아서 얘기하고 막 그러진 않겠다.

1.2 유리수

1.3 정수

정수론이 나온다.

1.4 자연수

2. 식

2.1 변수, 상수, 미지수

정의
상수는 값이 일정한 수이다.
변수는 값이 변하는 수이다.
미지수는 값이 정해지지 않은 수이다.

(1-1 문자와 식에서는) 수와 문자의 구분, 뭐 이런 얘기도 나오는데 수를 대신하는 문자랑 문자를 대신하는 수랑 왜 구분하는 건지 모르겠다. 왜 $\frac{1}{2}$ 는 다항식인데 $\frac{1}{a}$ 는 다항식이 아닐까. 왜 동류항을 '곱해진 문자가 같은 항'이라 정의하는 걸까. 다항식의 덧셈에서 '동류항끼리 더하라' 소리를 하는데 $2 a b + 3 a b = (2 + 3) a b = 5 a b$ 랑 $2 a c + 3 b c = (2 a + 3 b) c$ 랑 둘 다 분배법칙 쓰고 하는 건데 근본적으로 뭐가 다르지? 아 2랑 3은 값이 정해져있는거에 반해 여기서는 $a$ 와 $b$ 와 $c$ 가 미지수지.

2.2 다항식

정의
수와 문자(?)의 곱셈으로만 이루어진 식을 단항식 혹은 항이라 한다.
단항식이 여러 개 더해지면 다항식이라 한다.

어떤 단항식에서 어떤 문자(?)가 곱해진 횟수를 그 문자의 차수라고 한다. 어떤 다항식에서 문자의 차수란 그 식에서 그 문자의 차수가 가장 높은 항의 차수이다.
어떤 단항식에서 곱해진 수(?)를 그 항의 계수라고 한다. \

여러 항에 곱해진 문자(?)와 그 차수가 같으면 그 여러 항이 동류항이라고 한다.

유리식, 분수식, 무리식은 중학교에서 나오지 않는다. 1-1 반비례식이 유리식이긴 하다.

2.3 전개와 인수분해

정의
다음과 같이 분배법칙을 이용한 것을 전개라고 한다. $a (b + c) \to a b + a c$ 다음과 같이 분배법칙을 이용한 것을 인수분해라 하고, 전개를 역(?)으로 한거다. $a b + a c \to a (b + c)$

2.4 곱셈 공식

다항식을 전개/인수분해 하기 위해 사용되는 공식이다.

중3에서 나오는 공식은 다음과 같다:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d

3. 등식과 부등식, 해 구하기

물론 얘네도 식이지만 중학교 수학에서 중요하기 때문에 (특히 해 구하기는) 따로 둔다.

3.1 등식과 부등식의 정의와 종류

정의
등식은 등호(=)가 들어간 식이다.
부등식은 부등호가 들어간 식이다.

등식과 부등식은 참일수도, 거짓일수도 있다. 이때 참이 될 수 있는 등식은 다음과 같이 나눠진다.

정의
방정식은 미지수의 값에 따라 참이 될 수도, 거짓이 될 수도 있는 등식이다.
항등식은 항상 참인 등식이다.

연립방정식/부등식, 절대부등식, 부정방정식 등 추가하기

3.2 등식과 부등식의 해

3.2.1 해, 근의 공식

정의
방정식이나 부등식에서 미지수의 해 또는 근이란, 방정식이나 부등식이 성립하게 하는 미지수의 값이다.

정의
근의 공식이란 방정식의 해에 대해 방정식을 정리한 공식이다.

근의 공식의 예로는 일차방정식 $a x + b = 0$ 의 근의 공식 $x = - \frac{b}{a}$ 가 있다. 이차방정식이 더 잘 알려졌는데 쓰기 귀찮다.

3.2.2 해 구하기

연산법칙을 자알 쓴다. 끝!!!

하지만 방정식/부등식별로 사용할 연산법칙이 있다.

3.2.2.1 일차방정식

제일 기본적이다. 이차방정식, 연립일차방정식 등 공수1까지 나중에 나올 방정식/부등식은 다 식을 변형해서 일차방정식으로 만드는 게 핵심이다.

'이항'이라 불리는 기술로, 덧셈의 소거법칙을 이용해서 방정식을 $a x = b$ 꼴로 정리한다.
곱셈의 소거법칙을 이용해서 양변을 x의 계수로 나눈다.

$a x + b = 0$ 이면 $x = - \frac{b}{a}$ 이다.

3.2.2.2 연립일차방정식

미지수가 2개, 식이 2개라면 크게 두 가지 풀이법이 있는데, 둘 다 핵심은 이거다:

두 개의 식을 미지수 한 개, 식 한 개로 정리한다.
1에서 나온 식으로 미지수 한 개의 해를 구한다.
다른 식에 대입해서 나머지 미지수의 해를 구한다.

이 1번에서 '어떤 식 한 개로 정리하느냐' 에서 갈리는 거다.

3.2.2.2.1 대입법

1-1. 식 한 개를 어떤 미지수에 대해 정리한다.
1-2. 그 미지수에 대해 정리한 식을 다른 식에 대입한다.
2. 1-2에서 나온 식으로 미지수 한 개의 해를 구한다.
3. 1-1에서 나온 식에 대입해서 나머지 미지수의 해를 구한다. 물론 다른 식도 되지만 1-1이 젤 편하다.

3.2.2.2.2 가감법

???: $a = b \Leftrightarrow a + c = b + c$ 라고? 그럼 $a = b, c = d \Leftrightarrow a \pm c = b \pm d \Leftrightarrow a \pm d = b \pm c$ 겠네?

3.2.2.2.3 미지수가 3개, 식이 3개라면?

3.2.2.3 이차방정식

3.2.2.4 일차부등식

일차방정식과 동일하나, $a < b, c < 0 \Rightarrow a c > b c$ 임을 기억하자. 문풀때 이거 엄청 틀린다.

3.2.3 해가 몇개?

3.2.3.1 차수에 따라

n차방정식의 해는 n개 이하이다.

n차식의 해는 (x-a) n개 (a는 복소수)로 나타낼 수 있다.

3.2.3.2 식의 개수에 따라

(식의 개수)=(미지수의 개수)라면,

4. 그래프

4.1 좌표평면과 그래프

: 좌표평면 개념 설명 더 정확히 하기, 평면이 아닌 공간에서의 그래프, x축의 정의는 y=0의 그래프임 설명

정의 (중1-1)
좌표평면이란 두 수직선(좌표축)이 수직으로 만난 평면이다.

정의 (중1-1)
식의 그래프란 그 식을 만족하는 두 변수의 순서쌍이 나타내는 좌표를 좌표평면에 나타낸 것이다.

정의 (공수2)
함수의 그래프란 모든 순서쌍 $(x, f (x))$ 의 집합이다. 함수의 그래프를 좌표평면에 나타낸 것을 그것의 기하학적 표시라고 한다.

중학교 과정에서는 '함수의 그래프'를 여기서 정의한 그것의 '기하학적 표시'와 같은 것으로 정의한다.

4.2 그래프 관련 용어

4.2.1 절편

정의
절편이란 그래프와 좌표축의 교점에서 그 축의 좌표이다.

예를 들자면 x절편이란 그래프와 x축의 교점의 x좌표이다.

정리
x축, y축으로 이루어진 좌표평면에 대해서, 임의의 식에 $y = 0$ 을 대입했을 때 x의 값은 그 식의 그래프의 x절편이다.

증명
x축은 $y = 0$ 의 그래프이다. 즉 (식의 그래프의 정의에 따라) 어떤 그래프의 x절편은 그 그래프의 식에 $y = 0$ 을 대입했을 때 x의 값이다.

4.2.2 이동

4.2.2.1 평행이동

정의
도형을 이루는 모든 점을 같은 방향과 거리만큼 이동하는 것을 평행이동이라고 한다.

주로 '어떤 축으로 얼만큼 평행이동했다' 식으로 표현한다.

정리
도형 $f (x)$ 를 x축으로 $a$ 만큼 평행이동한 도형의 식은 $f (x - a)$ 이다. ( $f (x)$ 는 방정식)

증명
도형 $f (x)$ 을 이루는 임의의 점 $P (x)$ 를 생각하자.
이 도형을 평행이동하면 $P (x) \to P^{'} (x^{'}) = P (x + a)$
다시 말해 $x^{'} = x + a \Rightarrow x = x^{'} - a \to$

4.3 특정 식/함수의 그래프

지금으론 변수가 실수 $x$ , $y$ 인 식의 가로축이 x축, 세로축이 y축인 좌표평면에서의 그래프를 중심으로 쓸 거다.

(중학교 과정에서) 이름과 관계식 언급: 정비례 ( $\subset$ 일차함수), 반비례 ( $\subset$ 유리함수), 일차함수/일차식, 이차함수/이차식
관계식만 언급: 상수함수
고등학교 과정에서 언급: 다항함수 (⊃일차함수, 이차함수), 유리함수, 무리함수, 로그함수, 지수함수, 삼각함수...

4.3.1 일차함수 (일차식)

형태: $y = a x + b (a, b \neq 0)$

표준형 $y = a x + b$ , 일반형 $a x + b y + c = 0$

4.3.1.1 왜 이 식에서 $y$ 는 $x$ 에 대한 함수인가?

일반적인 중학교 교과서는 관계식에 $x$ 의 값 몇 가지를 대입해보면 $y$ 의 값이 모두 하나라는 것만으로 $y$ 는 $x$ 의 함수라고 판단한다. 하지만 $x$ 를 몇 개 대입해본다고 $x$ 가 될 수 있는 모든 수를 대입한 건 아닌 것, 실수 공리를 사용해서 함수라고 증명해보자.

: 아래 증명에서 각각 어떤 공리인지 쓰기

정리
$y = a x + b$ 일 때 $y$ 는 $x$ 의 함수이다.

증명
실수 $a$ , $x$ 에 대하여 $a x$ 는 실수이며 (실수는 곱셈에 닫혀있음) 유일하다.
실수 $a x$ , $b$ 에 대하여 $a x + b$ 는 실수이며 (실수는 덧셈에 닫혀있음) 유일하다.
즉 $x$ 가 가능한 모든 값일 때 $y$ 즉 $a x + b$ 가 각각 하나로 정해진다.

4.3.1.2 그래프

평행이동
x절편, y절편

#math #수학 #한국어