내가 아는 대로 중학교 대수학 정리하기

06 Mar, 2026

참고: 대부분의 내용은 내 머리와 나무위키에서 가져왔다.

수정할 것

• '역'
• '수', '문자'

이게 뭐하는 글이지?

중학교 대수학을 내 나름대로 정리해놓은 거다. 딱 보면 알수 있듯 보통 중학교 교과서에서 나오는 거랑 목차가 조금 다른 부분이 꽤 많다. 몇달간 래빗홀을 파서 그렇다. 그리고 목차 빼곤 거의 다 비었는데 아직 미완이라 그렇다. 엄청 많이 복습한 내용이라 나한테 지금 당장 필요한 건 그 내용의 순서나 관계를 정리하는 것 뿐이라 생각해서 이렇게 해놨고, 특정 개념을 다시 복습하면 여기다가 더 자세히 적을 예정이다.

0. 기초 (중학교에서 안 나오는 것)

0.1. 집합

정의

집합은 원소로 이루어진 모임이다.
원소 $a$가 집합 $A$에 속하면 $a\in A$로 표기하고, 원소 $a$가 집합 $A$에 속하지 않으면 $a\notin A$로 표기한다.

집합, 원소 사실 무정의용어다! 그래서 일케 정의하는게 별 의미가 없긴 하다.

공수2에서는 집합이 '누구에게도 분명한 기준을 가져야 한다'라고 한다. 예를 들어 '1보다 큰 자연수의 모임'은 기준이 분명하지만 '잘생긴 사람의 모임'은 사람에 따라 기준이 다르다는 거다. 또 듣기론 수학을 더 많이 파다 보면 집합을 더 엄밀하게 정의하게 된다는데, 일단 이 글은 중학교 수준 수학을 다룰 거니까 상관없다.

집합 정의하는 법

원소나열법: 집합에 속한 원소를 중괄호 안에 쓰는 거다. 예를 들어 $a,b,c$가 집합 $A$의 원소라면 $A=a,b,c$ 이렇게 표기하는 거다.

정의

$a=b$는 a와 b가 같다는 뜻이다. 이때 a를 좌변, b를 우변이라 하고 좌변과 우변을 통틀어 양변이라고 한다.

조건제시법: 어떤 조건을 주고 '이 조건을 만족하는 모든 원소는 이 집합에 속한다'라고 하는 거다. 예를 들어 모든 3의 배수가 들어있는 집합 $A$는 $A=\{a:a는3의배수\}$

부분집합, 교집합, 합집합 등

(이 부분은 중학교 수학과는 관련이 적어서 나중에 쓰겠다)

정의

집합 $A$의 모든 원소가 집합 $B$의 원소이면 $A$는 $B$의 부분집합이라 하고 $A\subset B$로 표기한다.

이걸 더 파는 분야가 '집합론'이다.

참고자료: 공수2 '집합과 명제' 단원, aerospacekim님 블로그

0.2. 명제

0.3. 함수

정의

순서쌍

정의

집합 $A$의 모든 원소를 각각 집합 $B$의 원소 하나에 대응한 관계를 함수라고 하고 $f:A\to B$로 표기한다. 다시 말하면

0.4. 연산과 대수구조

1. 수 체계와 연산

1.1 실수

1.1.1 실수 공리

1.1.2 사칙연산과 거듭제곱의 정의와 연산법칙

연산법칙의 정의??? 는 '연산'부분에 들어가야 할듯.

교환, 결합, 소거, 분배법칙. 곱셈공식, 지수법칙 등 다양한 연산법칙이 있는데 한꺼번에 모아서 얘기하고 막 그러진 않겠다.

1.2 유리수

1.3 정수

정수론이 나온다.

1.4 자연수

2. 식

2.1 변수, 상수, 미지수

정의

상수는 값이 일정한 수이다.
변수는 값이 변하는 수이다.
미지수는 값이 정해지지 않은 수이다.

(1-1 문자와 식에서는) 수와 문자의 구분, 뭐 이런 얘기도 나오는데 수를 대신하는 문자랑 문자를 대신하는 수랑 왜 구분하는 건지 모르겠다. 왜 $\frac{1}{2}$는 다항식인데 $\frac{1}{a}$는 다항식이 아닐까. 왜 동류항을 '곱해진 문자가 같은 항'이라 정의하는 걸까. 다항식의 덧셈에서 '동류항끼리 더하라' 소리를 하는데 $2ab+3ab=(2+3)ab=5ab$랑 $2ac+3bc=(2a+3b)c$랑 둘 다 분배법칙 쓰고 하는 건데 근본적으로 뭐가 다르지? 아 2랑 3은 값이 정해져있는거에 반해 여기서는 $a$와 $b$와 $c$가 미지수지. 미지수가 아닌 건 지수라 부르나. 설마. 찾아봐야지.

2.2 다항식

정의

수와 문자(?)의 곱셈으로만 이루어진 식을 단항식 혹은 항이라 한다.
단항식이 여러 개 더해지면 다항식이라 한다.

어떤 단항식에서 어떤 문자(?)가 곱해진 횟수를 그 문자의 차수라고 한다. 어떤 다항식에서 문자의 차수란 그 식에서 그 문자의 차수가 가장 높은 항의 차수이다.
어떤 단항식에서 곱해진 수(?)를 그 항의 계수라고 한다. \

여러 항에 곱해진 문자(?)와 그 차수가 같으면 그 여러 항이 동류항이라고 한다.

유리식, 분수식, 무리식은 중학교에서 나오지 않는다. 1-1 반비례식이 유리식이긴 하다.

2.3 전개와 인수분해

정의

다음과 같이 분배법칙을 이용한 것을 전개라고 한다. $a(b+c)\to ab+ac$ 다음과 같이 분배법칙을 이용한 것을 인수분해라 하고, 전개를 역(?)으로 한거다. $ab+ac\to a(b+c)$

2.4 곱셈 공식

다항식을 전개/인수분해 하기 위해 사용되는 공식이다.

중3에서 나오는 공식은 다음과 같다:

3. 등식과 부등식, 해 구하기

물론 얘네도 식이지만 중학교 수학에서 중요하기 때문에 (특히 해 구하기는) 따로 둔다.

3.1 등식과 부등식의 정의와 종류

정의

등식은 등호(=)가 들어간 식이다.
부등식은 부등호가 들어간 식이다.

등식과 부등식은 참일수도, 거짓일수도 있다. 이때 참이 될 수 있는 등식은 다음과 같이 나눠진다.

정의

방정식은 미지수의 값에 따라 참이 될 수도, 거짓이 될 수도 있는 등식이다.
항등식은 항상 참인 등식이다.

연립방정식/부등식, 절대부등식, 부정방정식 등 추가하기

3.2 등식과 부등식의 해

3.2.1 해, 근의 공식

정의

방정식이나 부등식에서 미지수의 해 또는 근이란, 방정식이나 부등식이 성립하게 하는 미지수의 값이다.

정의

근의 공식이란 방정식의 해에 대해 방정식을 정리한 공식이다.

근의 공식의 예로는 일차방정식 $ax+b=0$ 의 근의 공식 $x=-\frac{b}{a}$가 있다. 이차방정식이 더 잘 알려졌는데 쓰기 귀찮다.

3.2.2 해 구하기

연산법칙을 자알 쓴다. 끝!!!

하지만 방정식/부등식별로 사용할 연산법칙이 있다.

3.2.2.1 일차방정식

제일 기본적이다. 이차방정식, 연립일차방정식 등 공수1까지 나중에 나올 방정식/부등식은 다 식을 변형해서 일차방정식으로 만드는 게 핵심이다.

1. '이항'이라 불리는 기술로, 덧셈의 소거법칙을 이용해서 방정식을 $ax=b$꼴로 정리한다.
2. 곱셈의 소거법칙을 이용해서 양변을 x의 계수로 나눈다.

$ax+b=0$이면 $x=-\frac{b}{a}$이다.

3.2.2.2 연립일차방정식

미지수가 2개, 식이 2개라면 크게 두 가지 풀이법이 있는데, 둘 다 핵심은 이거다:

1. 두 개의 식을 미지수 한 개, 식 한 개로 정리한다.
2. 1에서 나온 식으로 미지수 한 개의 해를 구한다.
3. 다른 식에 대입해서 나머지 미지수의 해를 구한다.

이 1번에서 '어떤 식 한 개로 정리하느냐' 에서 갈리는 거다.

3.2.2.2.1 대입법

• 1-1. 식 한 개를 어떤 미지수에 대해 정리한다.
• 1-2. 그 미지수에 대해 정리한 식을 다른 식에 대입한다.
• 2. 1-2에서 나온 식으로 미지수 한 개의 해를 구한다.
• 3. 1-1에서 나온 식에 대입해서 나머지 미지수의 해를 구한다. 물론 다른 식도 되지만 1-1이 젤 편하다.

3.2.2.2.2 가감법

???: $a=b\iff a+c=b+c$라고? 그럼 $a=b,c=d\iff a\pm c=b\pm d\iff a\pm d=b\pm c$겠네?

3.2.2.2.3 미지수가 3개, 식이 3개라면?

3.2.2.3 이차방정식

3.2.2.4 일차부등식

일차방정식과 동일하나, $a<b,c<0\Rightarrow ac>bc$임을 기억하자. 문풀때 이거 엄청 틀린다.

3.2.3 해가 몇개?

3.2.3.1 차수에 따라

n차방정식의 해는 n개 이하이다.

n차식의 해는 (x-a) n개 (a는 복소수)로 나타낼 수 있다.

3.2.3.2 식의 개수에 따라

(식의 개수)=(미지수의 개수)라면,

4. 그래프

#math #수학 #한국어