그래서 연산이 뭐지
예전부터 나는 중학교 수학을 쫙 정리하겠다고 말했다. 개념 정의와 개념 사이의 관계에 집중해서.
그래서 정리를 시작하고 있는데 처음부터 막혔다. 수가 뭐고 연산이 뭐지?
그렇게 고민하며 초등학교에서 다룬 내용도 제대로 못 적는 내가 수학 부진아 같다. 아무리 찾아봐도 수의 정의는 안 나오는데 연산의 정의는 나온다. 어떤 집합 내에서 한 개 이상의1 원소를 하나의 원소로 만드는 것... 인터넷에서 찾아보다 보니 자료마다 워딩이 다르다. 근데 위키백과에서 얻은 이 그림을 보니 직관적으로 이해가 간다.
그래서 '사칙연산은 연산인데, 제곱이나 제곱근, 로그 이런것도 다 연산인가?' 생각했는데 다 연산이다. 보통 연산 하면 사칙연산을 생각하다 보니 a*b 일케 생겼을 것 같은데 연산 기호가 그렇게만 생긴 것도 아니다. 여기서는 함수로 연산을 나타내는 게 있다.1
예전에 실수 정의를 '수학의 숲을 걷다'라는 책에서 본 적이 있었는데, 거기서 '닫힌 연산'에 대한 언급이 나왔다. 그 '닫힌 연산'이 뭔지도 이 자료2에서 설명해준다. 내 말로 설명하자면 어떤 집합에서 원소를 가져와서 연산에 집어넣는(?) 거잖아, 그럼 연산 결과가 그 집합에 들어가면 닫힌 연산이다.
예를 들어 자연수 위에서 정의된 덧셈은 닫힌 연산이다. 왜냐면 어떤 자연수끼리 더해도 결과는 자연수다. 근데 뺄셈은 닫힌 연산이 아니다. 2-3=-1처럼 자연수끼리 뺐을 때 자연수가 아닌 결과가 나올 수 있기 때문이다.
근데 그 연산에 집어넣는 걸 뭐라 함? 함수처럼 정의역임? 찾아보자.
조금의 찾아봄 후 | 일단 너무 많이 찾아보지는 말자
나무위키에 따르면
예를 들면 1+2=3에서 1과 2가 피연산자, +가 연산자, 3이 결과값이라고 할 수 있다.
라고 나와 있다.
또 피연산자가 n개인 연산을 n항연산이라 한다. 나무위키는 단항연산과 이항연산 예시를 들어주는데, 내가 아는 걸로는 단항연산에는 절댓값과 켤레복소수가3 있고 (거듭제곱과 거듭제곱근은 아님), 이항연산은 사칙연산, 거듭제곱과 거듭제곱근이 있다. 테트레이션이라고 조금 무시무시하지만 흥미로워 보이는 것도 있다. 삼항연산 이후부터에 대해서 나무위키가 또 언급하는 게,
정말 특이한 연산(행렬이나 델 연산, 적분 등)을 빼고는 삼항연산부터는 정의할 의미가 없는 게, A+B+C 같은 연산은 일단 A+B를 구한 뒤 거기다가 +C를 하면 되기 때문에 결국엔 이항연산으로 환원된다.
결합법칙과 교환법칙이 성립하느냐도 중요한 것 같다. 이항연산 ab가 있을때 abc=a(bc)=(ab)c가 성립하는 게 결합법칙, ab=b*a가 성립하는 게 교환법칙이란다.
항등원이랑 역원이라는 것도 있는데, 여기서는 다음과 같이 정리한다.
항등원: a * e = a = e * a
역원: a * a⁻¹ = e
여기서 e가 항등원, 역원인듯. 근데 뭔 소린지 모르겠다. 내가 예전에 '수학의 숲을 걷다'를 읽으며 메모한 게 나을듯. 그걸 머릿속에서 끄집어내자면, 모든 a에 대해서 a랑 e를 갖고 연산을 했을 때 결과가 a면 e는 그 연산의 항등원이고, 모든 a에 대해서 a랑 e를 갖고 연산을 했을 때 결과가 항등원이면 e는 그 연산의 역원이다. 나무위키를 찾아본다 맞네. 글고 항등원이랑 역원은 이항연산에서 있는 거다.
오늘은 그럼 여까지만 하고 내가 궁금한 것 중 반(연산이 뭐임?)을 찾았으니 다시 중학교 수학으로 가야지.
근데 식이 뭐지?
글고 연산을 블랙박스(단어가 맞나?)로 표현하면 집합 원소를 몇 개 넣어서 결과 하나가 나오는 거잖아. 함수를 블랙박스로 표현하면 집합(정의역) 원소를 하나 넣어서 결과(공역 아님 치역, 뭔지 모르겠다) 하나가 나오는 거잖아. 그럼 연산이랑 함수랑은 어떤 관계가 있는 거지? 막 함수는 연산의 일종이고 그런 건가?
[개쩌는 아웃트로 삽입(?)]
혹시 말해줄 거 있으면 이메일 ㄱㄱ해주시길